Algebraic Topology (Colloquium Publications, Volume 27) by Solomon Lefschetz

By Solomon Lefschetz

Because the book of Lefschetz's Topology (Amer. Math. Soc. Colloquium guides, vol. 12, 1930; stated under as (L)) 3 significant advances have inspired algebraic topology: the advance of an summary advanced self sustaining of the geometric simplex, the Pontrjagin duality theorem for abelian topological teams, and the tactic of Cech for treating the homology thought of topological areas via structures of "nerves" every one of that is an summary complicated. the result of (L), very materially further to either through incorporation of next released paintings and via new theorems of the author's, are the following thoroughly recast and unified when it comes to those new options. A excessive measure of generality is postulated from the outset.

The summary perspective with its concomitant formalism allows succinct, distinctive presentation of definitions and proofs. Examples are sparingly given, more often than not of an easy type, which, as they don't partake of the scope of the corresponding textual content, might be intelligible to an easy scholar. yet this can be basically a e-book for the mature reader, during which he can locate the theorems of algebraic topology welded right into a logically coherent complete

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Uno spazio topologico si dice T1 se ogni sottoinsieme finito è chiuso. Dimostrare che uno spazio topologico X è T1 se e solo se per ogni x ∈ X vale {x} = U. 13. Sia {Un | n ∈ N} un sistema fondamentale numerabile di intorni di un punto x in uno spazio topologico. Dimostrare che la famiglia {Vn = U1 ∩ · · · ∩ Un | n ∈ N} è ancora un sistema fondamentale di intorni di x. 14 (♥). Sia X un insieme e supponiamo data, per ogni x ∈ X, una famiglia I(x) di sottoinsiemi di X in modo tale che le seguenti cinque condizioni siano soddisfatte: 1.

Consideriamo la relazione “x ≤ y se esiste n ≥ 0 tale che x = f n (y)”. Dimostrare che ≤ è una relazione di ordine su X se e solo se ogniqualvolta f n (x) = x per qualche n > 0 e x ∈ X vale f (x) = x. 22. 21). Dimostrare che per ogni sottoinsieme X ⊂ V che contiene 0 la famiglia {F ∈ G(V ) | F ⊂ X} possiede elementi massimali. 23 (Lemma di Tukey, ♥). Siano X un insieme e B una famiglia non vuota di sottoinsiemi di X con la proprietà che A ⊂ X appartiene a B se e soltanto se ogni sottoinsieme finito B ⊂ A appartiene a B.

Chiusa se f (C) è chiuso in Y per ogni chiuso C di X. 31. Sia f : X → Y un’applicazione continua tra due spazi topologici. Le seguenti condizioni sono equivalenti: 1. f è un omeomorfismo. 2. f è chiusa e bigettiva. 3. f è aperta e bigettiva. Dimostrazione. Dimostriamo che (1)⇒(2); ogni omeomorfismo è bigettivo per definizione. Se g : Y → X è l’inversa di f , allora g è continua e per ogni sottoinsieme chiuso C ⊂ X, f (C) = g −1 (C) è chiuso in Y . Per quanto riguarda (2)⇒(3), sia A ⊂ X un aperto e poniamo C = X − A.

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